上期是MPN的入门篇，相信您已经领悟了MPN的意义。本期是进阶篇，主要告知MPN的数学原理，就是MPN值是怎么算出来的，可能有点枯燥，但是也很有趣。阅读进阶篇需具备以下数学基础：高中的排列组合、大学的概率论与数理统计，以及微积分。

进阶篇

入门篇里我们提到了二项式分布，从图上看，很多人估计都会觉得这像正态分布。没错，仅仅也就是像而已。

我们先来搞明白这几个随机变量分布。二项式分布是一个比较简单的分布，适用于样品量不大的试验。如果把样品量放大，概率变小，那么二项式分布就无限逼近泊松分布了。泊松分布是有限个数世界里的王者。如果把泊松分布样品量也无限大，它就会逼近正态分布，而正态分布是无限世界的分布。有限个数和无限个数，是我自己给出的概念，目的是让你理解。数学上叫离散型和连续型。

如果把全球70亿人作为样本，分析某个指标，你觉得应该用什么分布？只能是泊松分布，因为70亿虽然很多，但是是有限个数。数学就是这么残酷，70亿很大么？毛毛雨啦。

如果想分析数字0到数字1之间的某个随机变量的分布，那才能用到正态分布。因为0到1之间是连续的，是可以无限划分的，只要小数点后面位数足够，它就是无限的。现在你明白，有限和无限的区别了吧。

所以我们做微生物数量分析，虽然微生物数量动辄几十亿，上百亿，但是在数学面前都是有限的。所以下面的计算只用到了泊松分布和二项式分布。

言归正传，MPN法是有两个假设前提的。为了方便理解，我们还是以水质中大肠检验为例。第一，大肠菌在水体中都是以均匀分散状态存在的，没有若干个大肠菌结成一团的情况（知道为啥样品要均质了吧）。第二，如果水体和水样的容积分别以V和v表示，水体和水样中的大肠菌数分别以n和x表示。那么，V与v相比，n与x相比，都是很大的数字。就是说，v和x相对来说都是小到可以忽略的数字。就好像你去长江里取一瓶水，这瓶水对长江来说，可以忽略。

在容积为v的水样中恰好出现x个大肠菌的概率符合泊松分布：

其中，x=0，1，2，3，......

在水样容积v中恰好出现零个大肠菌的概率为：

如果每毫升水样中的大肠菌个数为λ（注意：由此可知λ的单位是个/mL），则水样v毫升中不出现大肠菌的概率为：

如果每毫升水样中大肠菌个数为λ，则水样中出现大肠菌的概率为：

那么在N支样品容积为v的发酵管试验中，恰好出现r支显阴性反应，N-r支显阳性反应的概率为：

在N₁支样品容积v₁、N₂支样品容积v₂、N₃支样品容积v₃毫升的发酵管试验中，如果呈阴性反应的支数恰好分别是r₁、r₂及r₃，而呈阳性反应的支数恰好分别为N₁-r₁、N₂-r₂、N₃-r₃时，每毫升水样中的大肠菌数仍用λ表示，那么，这一试验结果发生的概率为：

好了，公式终于推出来了。我们的最大可能数就是上面这个公式中f(λ)最大值时对应的λ值，也就是我们想知道的浓度值。

先介绍一个最原始的计算过程。

这个公式中现在有四个未知量，N、r、v和λ。如果带入具体试验，你会发现其实只有一个λ是真正未知的。

例如，我们做9管法，稀释度选10倍、100倍和1000倍，阳性管数是1-0-0（本来想算3-2-1，结果呕血三升，实在算不下去，放弃了，又选了一个简单的）那通过查MPN表结果是3.6MPN/g。那么N₁、N₂、N₃都是3，r₁、r₂、r₃代表阴性管，所以分别是2、3、3。那么v1、v2、v3就是稀释度下样品含量分别是0.1mL、0.01mL和0.001mL。未知的就只剩λ了，那么把上面这些参数代入公式，计算如下：

把这个公式转化成函数图是这样的：

是不是和抛硬币的那个图完全不同了？这上面横坐标就是1-0-0中对应的所有可能的菌浓度。我们要找的是最可能的值，也就是函数的最高点对应的λ值。

怎么算呢？用微积分求导数就行了，最高点的导数是等于0的。所以把上述公式求导：

这就是刚才公式的导函数，只要让这个导函数等于0，求相应的λ值就行了。具体计算对数学专业人士应该挺简单的，但是对我们还是挺复杂的，所以我们再取个巧，直接做函数图，图上会帮我们计算。

看结果出来了，是3.571，四舍五入之后就是MPN表上的3.6了。我们看到的MPN表上的数值都是四舍五入之后的。

这么计算太麻烦了，所以在1942年，Thomas先生给出了一个估算MPN值的方法，计算过程比上面的方法简单了很多很多。目前FDA介绍的也是这种估值的算法。注意，这个方法算出是估值，不是准确值。

公式是这样的：

带入公式：

估值是3.59，我们用第一个方法算出来的是3.571，结果还是很接近的，但是计算过程可是省事了很多，既不用求导数也不用解方程。而且两个数四舍五入之后都是3.6。

好了，计算方法都介绍完了，如果每次我们做完试验都需要这么计算一番才知道结果，是不是很痛苦？所以McCrady先生才做了MPN表，表格的每一项都是计算出来的，绘成表格后使用就方便了。只要查出管数的阳性数就可以查到相应的MPN值了。所以请珍惜和重视我们的MPN表吧，每个数据都是一点点算出来的，刹费苦心啊。

最后说一点，MPN/g与MPN/100g能不能换算？怎么换算呢？看完上面的介绍和计算应该明白了吧。可以换算，直接把MPN/g乘以100，就是MPN/100g。其实就是公式中λ的单位，现在假设的是个/mL，分子分母同时乘以100，就是个/100mL。

举个例子。还是以大肠菌群的国标为例，我们从两个标准附录中的MPN表里随机挑选几个组合，列成下表。左边是2003年的，右边是2016年的。

上表可以看出两个不同，一个是黄色标注的稀释度不同，一个是绿色标注的结果单位不同。为了更直观的看到这个100倍的差异，我们把稀释度统一一下。根据国标MPN表中备注，选不同稀释度时结果可相应放大或缩小一定倍数，那么表格就变成了这样。

稀释度统一后，我们再来看结果，发现是不是就是100倍的差别？有两个不同的，你想到了什么？是不是四舍五入？之前我就提过，MPN表有四舍五入修约的，不同时代的MPN表保留有效数字的位数不同，所以就修约成了不同的样子，但是他们本质上就是原始公式中λ的单位而已。

如果看到这里，在不翻书不求助的情况下，上面的计算你都能看懂。

恭喜您了，您一定是万中无一的数学人才！！！！！

毕竟大学毕业也好几年了，就算刚毕业，也距离大一大二好几年了。很多东西都还给老师了，您如果还能记得，请一定重视自己的数学天赋，您的未来不可限量！！！！！